平面几何 · 面积模型
用两次等高面积比，把内部面积连接到底边分段。
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在非退化三角形 ABC 中，D 严格在 BC 内部，O 严格在 AD 内部。连接 BO、CO。已知 S(ABO)=24、S(ACO)=36、S(BOD)=16（同一面积单位），BD=10 个长度单位。求 DC、S(COD) 和 AO:OD。
同一题的有限步骤推导
第1步 / 共6步：核对内部点
D 在 BC 内部，O 在 AD 内部。先确认共线与点的顺序，再使用面积比。
前置：三角形面积公式、同高时面积比等于底边比、比的化简及比例运算。学习目标：识别内部连线，逐对指出共高，证明面积转换，正向求边与逆向求内部线段。
记 S(XYZ) 为三角形 XYZ 的普通面积。本页约定 A、B、C 不共线，B—D—C 与 A—O—D 各自共线且按此顺序排列，所以四块面积均为正。AD 不必垂直 BC，也不必是角平分线或中线。
这是项目中的 S班拓展编排，先掌握等高面积比，再学内部连线的比例转换；不表示当地官方课纲，也不声称为六年级上学期必学。
S(ABO) : S(ACO) = S(BOD) : S(COD) = BD : DC
AO : OD = S(ABO) : S(BOD) = S(ACO) : S(COD)
还可把同一倍率的两项相加：AO:OD=[S(ABO)+S(ACO)]:S(BOC)。若 BD:DC=m:n、AO:OD=p:q，且总面积 S(ABC)=T，则四块面积分别为：
| 区域 | 占总面积的比例 |
|---|---|
| ABO | m/(m+n) × p/(p+q) |
| ACO | n/(m+n) × p/(p+q) |
| BOD | m/(m+n) × q/(p+q) |
| COD | n/(m+n) × q/(p+q) |
比例乘以 T 才是实际面积；四个比例之和为1。该表由左右分割和上下共同倍率得出，不把长度比直接当面积占比。
本页例题与练习均为自拟教学题，沿用上述内部点约定。
例题一 · 回到开头的具体问题
三角形 ABC 中，D 在 BC 内部，O 在 AD 内部。S(ABO)=24、S(ACO)=36、S(BOD)=16，面积单位相同；BD=10。求 DC、S(COD)、AO:OD、S(ABC)。
例题二 · S班结构变式：未知面积先补齐
同样的内部点图形中，S(ABO)=30、S(ACO)=45、S(COD)=18，面积单位相同。求 S(BOD)、AO:OD、S(ABC)；并判断能否确定 AD 的实际长度。
若另给 AD=14，才有 AO=14×5/7=10、OD=14×2/7=4。不要由5:2擅自写成5厘米和2厘米。
ABC 非退化，D 在 BC 内部，O 在 AD 内部。BD:DC=3:5，AO:OD=2:1，S(ABC)=96平方厘米。求四块面积。
ABD 与 ACD 同高，面积分别为96×3/8=36、96×5/8=60平方厘米。左侧ABO:BOD=2:1，故 ABO=36×2/3=24、BOD=36×1/3=12。右侧同理，ACO=40、COD=20，单位均为平方厘米。
核查：24+40+12+20=96；24:40=12:20=3:5，24:12=40:20=2:1。
同样的内部点图形中，S(ABO)=18、S(ACO)=30、S(BOC)=32平方厘米。求 S(BOD)、S(COD)、AO:OD 及 S(ABC)。
下方两块面积比18:30=3:5，总和32。所以 S(BOD)=32×3/8=12、S(COD)=32×5/8=20平方厘米。AO:OD=18:12=3:2，也等于30:20。
S(ABC)=18+30+32=80平方厘米。注意 S(BOC) 已包括 BOD 和 COD，求总面积时不能再把两块重复加一次。
取 A(0,6)、B(0,0)、C(10,0)、D(4,0)、O(5,2)。此时 D 在 BC 内部，O 在 ABC 内部，但不在 AD 上。因为 AD 上高度为2的点横坐标为8/3，不是5。
AB 是长6的竖直线段，O到AB的距离为5，所以 S(ABO)=6×5÷2=15。S(ABC)=10×6÷2=30，S(BOC)=10×2÷2=10；因此 S(ACO)=30−15−10=5。上方面积比为3:1，底边比却是4:6=2:3。只保留内部点，缺少共线条件，结论仍可能错误。
D=B或C、O=A或D 时会产生零面积，某些比值分母为零，不属于本页定理。D 或 O 在线段外部时，区域的拼接与减法可能改变，需重新讨论普通面积或有向面积，不能直接照搬本页四块分割表。
| 易错 | 修正 |
|---|---|
| 图形长得像就套模型 | 确认 B—D—C、A—O—D 的共线与内部顺序。 |
| ABO与ACO高相同 | 本证明先比较下方，再比较左、右两对；不假设 B、C 到 AD 的距离相同。 |
| AO:OD等于BD:DC | 它们控制不同方向；例1分别为3:2与2:3。 |
| 比例数就是实际边长 | 已知总长度或其中一段长度，才能确定尺度。 |
回顾：认点位 → 下方等高得底边比 → 左右两对共底线得共同倍率 → 消去倍率 → 按问题求面积或线段。动画帮助观察，以上推导才是证明。
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三角形ABC中，D在BC内部，O在AD内部。连接BO和CO。
怎样把上方两块的面积比，换成底边BD与DC的长度比？
先看下方：三角形BOD与COD，底边同在BC上，顶点都是O。
它们等高，所以面积比等于BD比DC。本例是二比三。
再看左边：以AO和OD为底，顶点同为B，所以面积比等于AO比OD。
右边同理。上方两块，分别是下方对应面积的同一个倍数。
因此，ABO比ACO，也等于BD比DC。沿AD移动O，这个比不变。
若上方面积分别是二十四和三十六，BD长十，DC有多长？
底边比为二比三，所以DC等于十乘三除以二，得到十五。
注意：O偏离AD，上下两边就不再共享同一个倍率，结论可能失效。
燕尾只是图形的名字。先核对点的位置，用等高面积比推导，再计算。
图形按统一坐标构造共线与面积关系，不凭屏幕测量推定长度或角度。左侧绿色与右侧暖棕色仅帮助认区域，所有关系同时以文字和符号标明。动态反例采用单独坐标，不沿用原题面积。
结论由三角形面积公式独立推导，题目为自拟；精确算术核验与图形坐标核验保留在本主题制作记录。视频与分章时间使用同一真实音频时间轴。下载视频 · 下载完整离线包。