计数与概率方法 · 方法讲解

整数分拆：不计顺序的分组

把每种分组排成非降序，再按最小数分类，避免重复与遗漏。

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8个相同小球，分成3个无标签的非空组

只关心每组有几个。小球彼此相同，组也没有名字；交换两组不产生新分法。组内顺序不计，每组至少1个，恰好分成3组。共有多少种分法？

第1步 / 共7步：先把每种分组按从小到大记录。

125

5、1、2和2、5、1，都只记成(1,2,5)。

对应左侧8个球、3个非空组

排序去重

同一分组只保留一个代表

写成a≤b≤c，而不是给三组贴上甲、乙、丙的标签。

每个圆点代表一个相同小球，横线区分组，横线位置不产生额外分法。

为什么排序能保证不重不漏？

学习目标与前置

需要会有序枚举、整数大小关系，了解隔板法中“盒子可区分”的条件。目标是区分整数分拆与有标签分配，给出分类边界，并掌握互异条件下的一一对应。

对象与适用条件

整数分拆把正整数写成若干正整数之和，通常不计加数顺序。本页主要固定为3项，只数数量结构。若物品彼此不同、组有标签，或存在额外容量限制，需重新建模。

一、选规范代表

任何一个分组都能排序，所以不会漏。一个多重集合只有唯一的非降序数量表；即使数量重复，排序后的数值表也相同，所以不会重。我们不是数“排序操作有几种”，而是数排序后的不同结果。

二、从边界生成合法分支

固定三个非空组，设数量为a、b、c，总数为n。只枚举满足下列约束的整数：

1 ≤ a ≤ ⌊n/3⌋； a ≤ b ≤ ⌊(n−a)/2⌋； c=n−a−b。

因为三项都至少为a，所以3a≤n；又因为c≥b，所以2b≤n−a。每选定a、b，c就被总和唯一确定。反过来，任一合法非降序三元组都落在唯一的a分支和b位置。这里⌊x⌋表示不超过x的最大整数。

S班是本项目的深度编排，不代表已核实的地方官方课纲。这里只用小规模枚举与对应，不引入一般分拆公式或生成函数。

完整例题：分类枚举与结构变换

例一｜8拆成恰好3个正整数，顺序不计

题目即上方8球问题。先规定1≤a≤b≤c，a+b+c=8。a≤⌊8/3⌋=2。

a=1时，1≤b≤⌊7/2⌋=3，得到(1,1,6)、(1,2,5)、(1,3,4)，共3种。
a=2时，2≤b≤⌊6/2⌋=3，得到(2,2,4)、(2,3,3)，共2种。
a≥3时总数至少9，排除。共3+2=5种。

与隔板法对照：21为何不能除以6？

如果改成甲、乙、丙三个不同盒子，每盒非空，有C(7,2)=21种。无标签分组(1,2,5)对应6个有序排列，(1,1,6)只有3个，(2,3,3)也只有3个。五种代表的排列数依次是3、6、6、3、3，总和21。因为重复倍数不同，21÷6=7/2不能作为分拆数。

例二｜12拆成3个互不相同的正整数

条件：三项都为正、总和12、两两不相同、顺序不计。按a<b<c记录。直接枚举可行，但先建立对应能把“互异”变为已熟悉的“可相等”。

令x=a，y=b−1，z=c−2。整数严格递增意味着x≤y≤z，而且x≥1；总和x+y+z=12−3=9。
反向给任意1≤x≤y≤z、总和9的三元组，加回0、1、2，得到x<y+1<z+2且总和12。正反过程互逆，分法数相等。
对9分类：最小数1有(1,1,7)、(1,2,6)、(1,3,5)、(1,4,4)；最小数2有(2,2,5)、(2,3,4)；最小数3有(3,3,3)。共4+2+1=7种。
加回阶梯后得到(1,2,9)、(1,3,8)、(1,4,7)、(1,5,6)、(2,3,7)、(2,4,6)、(3,4,5)。答案：7种。

不能直接把总数减3后仍要求三项互异；变换后的条件已经变成允许相等。变换要同时修改总数与约束。

迁移练习

练习一｜每组至少2个

9个相同小球分成恰好3个无标签的组，每组至少2个，组内顺序不计。共有多少种？

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设2≤a≤b≤c，a+b+c=9。每项减1，得到三个非降序正整数，总和6。最小数1时是(1,1,4)、(1,2,3)，最小数2时只有(2,2,2)，共3种。加回1，原题为(2,2,5)、(2,3,4)、(3,3,3)。答案3种。也可每项减2，把问题转为总和3的三个非负整数；必须允许零。

练习二｜至多3个非空组

6个相同小球分成至多3个非空无标签组，组内顺序不计。不把空组视作额外的组。共有多少种？

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在数量表左侧补零至3项，唯一对应0≤a≤b≤c、总和6。a=0时有(0,0,6)、(0,1,5)、(0,2,4)、(0,3,3)，共4种；a=1时有(1,1,4)、(1,2,3)，共2种；a=2时有(2,2,2)，共1种。总计7种。去掉零后分别是1组、2组或3组的分拆；补零与去零互逆，不重复计算“空组的位置”。

反例、边界与回顾

不总能除以阶乘。(1,1,1)只有1种排列，(1,1,2)有3种，(1,2,3)有6种；存在重复数量时，交换不一定产生新结果。
相同的是物品，不能偷换为不同的人。8名不同学生分成三组，即使组大小同为(1,2,5)，成员不同仍可能是不同分组，本页数量枚举不能回答。
空组与组数要说清。8分成3个非空组有5种；“至多3组”还允许1组和2组，答案会变。非空且n<3时无解；n=3时只有(1,1,1)。
上限不能靠排序自动满足。8分成3个非空组且每组至多3个，只剩(2,3,3)，要在枚举时检查最大项。
变换必须可逆。处理共同下限时同减常数会保留非降序；处理两两互异时减阶梯才把严格不等号变成非严格不等号。

回顾：定对象和标签 → 固定组数与零的规则 → 排序选唯一代表 → 按最小数分类并写边界 → 还原检查总和及限制。

逐章回看

点击章节标题，定位到对应的视频讲解。

八个相同小球，分成三个非空的组。组没有标签，交换位置不算新分法。

例如五、一、二与二、五、一，排序后都是一、二、五。每种分组只保留一个非降序代表。

设三组数量为a、b、c，满足一不大于a，a不大于b，b不大于c，而且总和为八。

最小数是一时，有一一六、一二五、一三四。最小数是二时，有二二四、二三三。一共五种。

为什么不能把有序分法二十一除以六？一二五有六个排列，一一六只有三个排列，重复次数并不一致。

再看十二分成三个互不相等的正整数。从小到大，依次减去零、一、二，就变成总和为九的非降序正整数。

反过来依次加回零、一、二，必然严格递增。这是一一对应，枚举得到七种。

先确认组有没有标签、能否为空、组数是否固定。用排序去重，按最小数分类，再检查每个分支的边界。