行程模型 · 相对运动
把发车时间换成车距，再用相对速度消去观察者。
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自拟题：公交车从同一站等时发车，均以300米/分钟向右匀速行驶。行人以60米/分钟行走。同向行走时，每12分钟被一辆车追上；掉头后每8分钟迎面遇到一辆车。求发车间隔。假设沿途不停站，车流已稳定，忽略车身长度。
同一组数据，两种方向
第1步 / 共5步
开始时行人与前车重合，下一辆车在后方2880米。
青绿表示公交车，暖黄表示行人。两车始终向右；“反向”只改变行人方向。图中横坐标使用同一比例，车身大小不按比例。
必要前置：路程=速度×时间、同向追及与相向相遇、分数四则和简单消元。本页训练遇车间隔与发车间隔的双向反推，属于项目S班编排，不代表已核实的地方官方课纲。
相邻两车在同一地点先后出发，间隔 h 分钟；均以 v 米/分钟向右匀速行驶。后车刚出发时，前车已走 vh 米。之后两车速度相同，间距不变，所以 D=vh。只讨论两车都已出发、进入稳定观察区的情况。
设行人速率为 u，满足 0<u<v，两次速率大小相同。与车队同向时被后车追上，间隔 a；掉头后迎面遇车，间隔 b。时间单位一致，车队始终向右。
上次相遇后，下一辆车在身后 D 米。同向时车相对行人以 v−u 缩短距离；反向时双方以 v+u 缩短距离。不是让同一辆车绕回，也不是对向两条车流。
两式分别除以 a、b：D/a=v−u，D/b=v+u。相加得到 D(1/a+1/b)=2v，结合 h=D/v：
因此静止时 h 介于两种遇车间隔之间：当 0<u<v，必有 b<h<a。只知道 a、b，可求 h 和速率比，不能确定以米计的车距或绝对速度；必须另知一个速度或距离。用“车距为1”是在使用相对单位。
若 r=u/v，0≤r<1，则 a=h/(1−r)，b=h/(1+r)。r=0 时观察者静止，a=b=h；r=1 时同向相对速度为0，不能用除法计算有限遇车间隔。
沿同一条直线路线，各车同向、同速且等时发车，稳定运行且不停站。一行人与车队同向时每12分钟被一车追上，掉头后每8分钟遇一车；行人两次速率相同且小于车速。求发车间隔、行人与车辆速率比。
若进一步给出 v=300米/分钟，则 u=60米/分钟，D=2880米；代回同向2880÷240=12、反向2880÷360=8，均成立。不额外给速度时，前两问仍可确定。
同样的稳定车流，车速360米/分钟。一个行人同向时每15分钟被一车追上，反向时每10分钟迎面遇一车；行人两次速率相同且小于车速。求发车间隔、行人速率与相邻车距。
15与10是移动行人的遇车间隔，车站发车间隔12介于两者之间。
本页例题与练习均为自拟，条件理想化以突出数学结构。
各车从同一站每6分钟发一辆，均以400米/分钟向右匀速运行且不停站。行人以100米/分钟行走。在稳定观察区，同向、反向的连续遇车间隔各是多少？
D=400×6=2400米。同向后车追行人，相对速度400−100=300米/分钟，间隔2400÷300=8分钟；反向为400+100=500米/分钟，间隔2400÷500=24/5分钟，即4分48秒。检验：24/5<6<8。
各车同向同速稳定运行且等时发车。骑车人以500米/分钟沿车队方向骑行，每12分钟追上一辆公交车；掉头以相同速率骑行，每3分钟迎面遇到一辆公交车。求公交车速与发车间隔。沿途不停站，忽略车身长度。
这里是骑车人追上前车，所以设车速 v<500，D=(500−v)×12=(500+v)×3。6000−12v=1500+3v，得15v=4500，v=300米/分钟。
D=(500−300)×12=2400米，h=2400÷300=8分钟。不能套用2ab/(a+b)，因为原式假设 u<v。
快观察者的一般分支是 D/a=u−v，D/b=u+v，相减消去 u，得到 h=2ab/(a−b)，前提 a>b、u>v。代入2×12×3÷(12−3)=8。
| 条件或误区 | 检查依据 |
|---|---|
| 只知道等时发车就说等距 | 还需各车同速、稳定运行。先车300米/分钟、后车240米/分钟，后车出发后间距仍会增加。 |
| 停站后仍沿用同一D | 先车停站、后车继续行驶会缩小间距，需要分段记录位置；不能直接套稳定模型。 |
| 同向一律写 v−u | 先分清谁追谁。u>v 时应写 u−v，反推公式也随之改变。 |
| 掉头前后步速不同 | 分别写 u₁、u₂，不再自动消去。只给两种间隔通常不足以唯一确定 h。 |
| u=v 仍求同向间隔 | 相对位置不变；一般不会连续遇车，重合点模型也是退化情形。 |
| 把车次数当间隔数 | 连续看到n辆车，第一辆到第n辆只有n−1个间隔。首末端点要根据题意判断。 |
回顾：固定车队方向 → 检查同速稳定 → D=vh → 判定谁追谁 → 用D连接两次观察 → 消元并代回复核。视频中的行人模型只使用 u<v；快骑车人的分支见练习二。
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同一车站每隔固定时间发车，各车同向、同速且稳定运行，才形成等车距。
设车速为每分钟三百米，发车间隔九点六分钟，相邻车距就是二千八百八十米。
行人每分钟走六十米，与车队同向。从一辆车经过他，到下一辆车追上他，要走完一个相对车距。
相对速度是三百减六十，等于二百四十。二千八百八十除以二百四十，得到十二分钟。
行人掉头，仍以每分钟六十米行走；车队方向不变。这次相对速度是三百加六十。
同一个车距，除以三百六十，迎面遇车间隔变成八分钟。
反过来，只知道同向十二分钟、反向八分钟，也能求发车间隔。
设车距为一。同向相对速度是十二分之一，反向是八分之一。两者相加，等于两倍车速。
车速与车距的比，等于四十八分之五；所以发车间隔是五分之四十八分钟，也就是九分三十六秒。
一般地，同向间隔为甲，反向间隔为乙。发车间隔等于二乘甲乘乙，除以甲加乙。
必须保证行人速度小于车速，而且两次观察的行人速度大小相同。否则要重新分类。
等时发车不保证永远等车距。停站或变速会破坏模型；先检查条件，再用相对速度。
本页从路程、速度、时间与相对运动作自包含推导。横坐标图表示质点的位置，车身与行人大小不按比例，时间在视频中压缩。现实公交的加减速、停站、车长、拥堵与有限运营边界不属于本模型。
S班为本项目教学深度编排；本页不声明任何机构的官方学期范围。下载完整离线包 ↗