数论与整数方法 · S班
先分清完整组与余量，再用端点和进位判断取整。
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物品不可拆分，每组最多装 7 个。问“最多装满几组”和“全部装下至少几组”，取整方向相反。继续看余数如何决定两个商相加时是否进位。
第1步 / 共4步：先分组
29 = 7×4＋1。前四组各有7个，最后剩1个。
当前演示：29 个物品，每组最多 7 个
4 / 5
最多装满4组；全部装下至少5组。这里的5包括最后一个未满的组。
每格标出真实数量；格子的宽度不代表数量。第二模式用七等份条表示余量，不能将两种图形的宽度作比较。
需要带余除法、分数加法和不等式。只讨论非负数，除数为正；物品数量另要求为整数。S班为项目教学深度编排，不代表当地官方分班课纲。本页不讨论负数取整，不以估界替代精确区间。
对非负实数 x，向下取整（floor）⌊x⌋是不超过 x 的最大整数，向上取整（ceiling）⌈x⌉是不小于 x 的最小整数。例如 ⌊29/7⌋=4，⌈29/7⌉=5；⌊4⌋=⌈4⌉=4。这不是四舍五入。
⌊x⌋=k ⇔ k≤x<k+1；⌈x⌉=k ⇔ k−1<x≤k。
k 是非负整数。x 仍需满足 x≥0；所以 ⌈x⌉=0 的区间还要与非负范围相交，只剩 x=0。左边用“≤”还是“<”，由定义决定，不能凭习惯写。
非负整数 n、正整数 d，带余除法唯一给出 n=dq+r，q 是非负整数，余数满足 0≤r<d。除以 d 得 n/d=q+r/d，其中 0≤r/d<1。因此 ⌊n/d⌋=q；r=0 时 ⌈n/d⌉=q，r>0 时 ⌈n/d⌉=q+1。
整数 n≥0、d≥1 时：⌈n/d⌉=⌊(n+d−1)/d⌋。
证明：r=0 时，(n+d−1)/d=q+(d−1)/d，下取整是q；1≤r≤d−1 时，r+d−1介于d与2d−2之间，下取整多1。该简便式依赖 n、d 都是整数，不能任意用于实数。
写 x=m+α、y=n+β，其中 m=⌊x⌋、n=⌊y⌋，0≤α<1，0≤β<1；α、β叫作小数部分（fractional part）。两者的和在0到2之间但不含2，所以：
⌊x+y⌋=⌊x⌋+⌊y⌋+δ，其中 α+β<1 时 δ=0，α+β≥1 时 δ=1。
若 a=dq+r、b=dp+s，且同一正整数 d 下 0≤r,s<d，就有 α=r/d、β=s/d。因此r+s<d 不进位，r+s≥d 进一位。恰好等于 d 已形成一个完整组，应归入进位；因为 r+s<2d，不会一次进两位。不同除数时，不能直接相加原余数，要先化成同一单位的小数部分。
每辆车最多装24箱，每箱不可拆分。①137箱全部运走至少要几辆车？能装满几辆？②某批货有非负整数 n 箱，按每车24箱至少需要6辆，且每10箱分一组恰能分出13个满组。求所有 n。
“至少需要6辆”表示6辆足够且5辆不够；如果题目仅说“用了6辆”，可能存在空车，不能直接写上取整等于6。
正整数 a、b 满足 ⌊a/7⌋=3、⌊b/7⌋=5。求 ⌊(a+b)/7⌋ 的所有可能值；其中等于9的有序数对 (a,b) 共多少组？
反向代入：r=6、s=6时(a,b)=(27,41)，和68，68=7×9+5，仍只进一位。分别取整始终相加为8，直接据此认定总商也是8就漏掉这21组。
例题与练习均为本页自拟。先写变量范围，再检查等号应落在哪一端。
96个杯子装箱，每箱最多15个，杯子不可拆分。全部装下至少需几箱，能装满几箱？若已知至少需7箱，杯子数 n 为整数，有哪些可能值？
96=15×6+6，因此至少需7箱，能装满6箱。至少需7箱是⌈n/15⌉=7，所以6<n/15≤7，得到90<n≤105。整数 n 为91至105，共15种。90只需6箱，应排除；105正好7箱，应包含。
a、b为非负整数，⌊a/10⌋=2、⌊b/10⌋=4。求满足 ⌊(a+b)/10⌋=6 的有序数对(a,b)有多少组；总商为7又有多少组？
a=20+r、b=40+s，r,s均为0至9。总商6等价于r+s<10，即r+s≤9。固定r为0、1、…、9时，s分别有10、9、…、1种，因此不进位有10×11÷2=55组。
全部有序对10×10=100组，余下45组进位，总商为7。r+s=10恰好进位，不能算入55组。最高r+s=18小于20，不可能商为8。
| 错误想法 | 反例与修正 |
|---|---|
| 上取整总比下取整多1 | x=4时两者均为4；只在x不是整数时相差1。 |
| ⌊x+y⌋=⌊x⌋+⌊y⌋ | x=y=3/5时左边1，右边0；小数部分和达到1会进位。 |
| 余数和等于除数也不进位 | 4+3=7已是一整组；临界值归入进位。 |
| “用了6辆”就是上取整为6 | 车辆可能未装满甚至空置；要有“至少需要”的最小性条件。 |
| 不同除数的余数直接相加 | 4/7与2/5的余量单位不同，必须先比较4/7+2/5与1。 |
| 零件数为0还要一箱 | 纯容量模型无额外启用约束时⌈0/d⌉=0，不会自动多一箱。 |
解题顺序：确定变量是否为整数 → 区分最多满组与至少容器 → 按定义写开闭区间 → 求交集并回代端点 → 相加时检查余量是否够一整组。
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二十九个物品，每七个分成一组。先取四个完整组，剩下一个。
如果问最多装满几组，答案是四。如果问全部装下至少几组，剩下的一个也需要一组，所以是五。
反过来，下取整等于四，表示四到五之间，包含四，不包含五。乘七得到，数量从二十八到三十四。
上取整等于四，则数量大于二十一，且不超过二十八。整除的端点必须分清。
两数先各取整数部分。剩下的小数部分连接起来，不满一，整数和不变；达到一，就向整数部分进一。
同除以七时，余数四加二等于六，不进位。把二换成三，余数和达到七，就多出一个完整组。
因此先分别取整再相加，不一定等于先相加再取整。判断的关键，是余数之和有没有达到除数。
上取整也不能一律比下取整多一。余数为零时，两者相等。写区间、看端点、查余数，才能避免多算或漏算。